A. Notasi Faktorial Notasi Faktorial adalah perkalian bilangan dengan bilangan berurutan dari bilangan n, terus mengecil sampai bilangan satu.
n! = nx (n – 1) x ( n – 2 ) x ….x 3 x 2 x1
Contoh :
1. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
2. 3! = 3 x 2 x 1
B. PermutasiPermutasi adalah penyusunan unsur – unsur ( yang diambil dari sekelompok unsur ) dengan memperhatikan urutannya.
Contoh :
ABC ≠ BCA karena urutannya berbeda.
a. Permutasi yang Tiap Unsurnya BerbedaPermutasi dengan kelompok unsure yang berbeda dapat dirumuskan sebagai berikut:
rPn = r!
r-n!
Ket:r = sekelompok unsur yang tersedia
n = unsur yang dimbil
Dengan catatan, kelmpok unsur yang tersedia tidak ada yang sama.
Contoh:
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka yag disusun dari angka – angka 1, 2, 4,6, 7, 9, sebagai berikut :
Angka I II III
Jumlah angka keseluruhan adalah 6 angka, sehingga kemungkinan angka I adalah semua angka. Dilanjutkan angka II adalah 5 dan angka III adalah 4 angka karena urutan.
Jadi, banyaknya bilangan 3 sebagai beikut :
6 x 5 x 4= 120
Dapat dilambangkan 6P3 = 6!
(6-3 )!
= 6!
3!
= 6 x 5 x 4 x
3 x 2 x 13 x 2 x 1= 120
b. Permutasi Yang Memuat Beberapa Unsur SamaPermutasi yang memuat beberapa unsure yang sama dalam satu kelompok dapat dirumuskan sebagai berikut :
n P(a,b,c) = n!
a!b!c!
Ket: n= unsur yang tersedia
a , b , c = ( jumlah ) unsur-unsur yang sama
Contoh :
Tentukan banyaknya nama yang dapat dibentuk dari huruf M,A,T,E,M,A,T,I,K,A.
Penyelesaian:
- Huruf yang tersedia 10
- Unsur sma, 2 unsur ( huruf M) , 3 unsur (huruf A), 2 unsur (huruf T)
- Dirumuskan 10P(2, 3, 2)= 10!/ 2!3!2!
= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
(2×1) (3x2x1) (2×1)
= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5
= 151.20
c. Permutasi SiklikPermutasi siklik adalah permutasi yang memuat beberapa unsur yang urutannya berupa lingkaran tertutup.
Prmutasi siklik dapat dirumuskan sebagai beikut :
C. Notasi KombinasiNotasi kombinasi adalah pengelompokan suatu unsur dari kelompoknya dengan pilihan dari unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya. Notasi kombinasi dapat dirumuskan sebagai berikut:
n C r = n1 r!( n-r)!
Ket: n= unsur yang tersedia
r= unsur yang dipilih |
Contoh:
Terdapat 10 bola yang terdiri dari 3 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola hijau .Berapa banyak kombinasi jika dilakukan pemilihan 2 bola.
Penyelesaian:
10C2= 10! = 10x9x8x…x
2×1 =45
2!(10-2)!
2×1(8!)
Jadi, jumlah kombinasi warna jika diambil 2 bola = 45 warna.
D. Kejadian Sederhana , Ruang Contoh , Peluang , dan Kisaran nilai Peluanga. Ruang ContohRuang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada percobaan.
Contoh:
Ruang contoh pelemparan dadu { 1,2,3,4,5,6}.Dan pelemparan uang {gambar, angka}.
b. PeluangAdapun rumus dari peluang adalah:
P(A)= n(A) n(S)
Ket:
n(A)=banyaknya hasil yang akan terjadi.
n(S) = banyaknya semua kemungkinan.
|
Contoh:
Dadu yang dilempar, kemungkinan keluar angka-angka genap dan kemungkinan keluar angka 0 sebagai beikut:
1. Angka genap
2,4,6= 3 kejadian
Kemungkinan angka mata dadu (ruang sampel) adalah:
1,2,3,4,5,6= 6 kemungkinan
Jadi, peluang genap = 3 = 1
6 2
2. Angka nol
Sisi dadu tidak ada yang berangka 0
Maka, mustahil keluar angka 0
Jadi, peluang keluar 0= 0
c. Frekuensi HarapanFrekuensi harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:
Frekuensi harapan = P(A) x N Ket:
P(A)= peluang kejadian (A)
N= banyak percobaan |
Contoh:
Jika sebuah dadu dilempar sebanyak 100 kali.
Berapa frekuensi munculnya bilangan prima sebagai berikut:
- Mata dadu= 1,2,3,4,5,6
- Bilangan prima pada dadu= 2,3,5
- Peluangnya= 3
6
- Frekuensi harapan = 3 x 100= 50 kali.
6
E. Kejadian Majemuka. Peluang komplemen P(A)= peluang kejadin munculnya A
P(A
’)=peluang kejadian munculnya bukan A
Maka , P(A) dan P(A’) adalah peluang kejadian yang salig komplemen.
P(A u A’)=1
Contoh:
Peluang munculnya bilangan bukan 5 pada pelemparan dadu sebagai berikut:
P(5)= 1/6 , maka komplemennya adalah munculnya bukan 5 { P(5’)}=1-1= 5/6
6
b. Peluang Gabungan Duan Kejadian Yang Saling LepasPeluang gabungan dua kejadian yang saling lepas adalah peluang kejadian yang tidak dapat berlangsung bersamaan.
Contoh :
Tentukan peluang munculnya bilangan 2 atau 4 dan peluang munculnya bilangan 5 pada pelemparan dadu.
Penyelesaian :
P(2,4)= 2/6
P(5) = 1/6
= 2/6+1/6=1/2
Jadi, peluang 2 atau 4 atau 5 adalah ½.
F. Peluang Kejadian yang Saling BebasPeluang kejadian yang saling bebas adalah peluang muncul tidaknya kejadian A tidak terpengaruhi oleh muncul tidaknya kejadian B.
Contoh:
Pada pelemparan dadu dan uang logam , peluang munculnya bilangan prima dan gambar adalah saling bebas dengan peluang sebagai berikut:
P(prima)= P(2,3,5)=3/6=1/2
P(gambar)= P(G)= 1/2
P(prima dan gambar)= P(prima)x P(G)= 1/4.
)
