Membedakan Permutasi dan Kombinasi

A. Notasi Faktorial

     Notasi Faktorial adalah perkalian bilangan dengan bilangan berurutan dari bilangan n, terus mengecil sampai bilangan satu.
n! = nx (n – 1) x ( n – 2 ) x ….x 3 x 2 x1
Contoh :
1.  5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
2.  3! = 3 x 2 x 1

B. Permutasi

Permutasi adalah penyusunan unsur – unsur ( yang diambil dari sekelompok unsur ) dengan memperhatikan urutannya.
Contoh :
ABC ≠ BCA karena urutannya berbeda.

a. Permutasi yang Tiap Unsurnya Berbeda

Permutasi dengan kelompok unsure yang berbeda dapat dirumuskan sebagai berikut:
rPn = r!
r-n!

Ket:
r = sekelompok unsur yang tersedia
n = unsur yang dimbil
Dengan catatan, kelmpok unsur yang tersedia tidak ada yang sama.

Contoh:
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka yag disusun dari angka – angka 1, 2, 4,6, 7, 9, sebagai berikut  :

6 angka

5 angka

4 angka

Angka    I                              II                          III

Jumlah angka keseluruhan adalah 6 angka, sehingga kemungkinan angka I adalah semua angka. Dilanjutkan angka II adalah 5 dan angka III adalah 4 angka karena urutan.

Jadi, banyaknya bilangan 3 sebagai beikut :
6 x 5 x 4= 120
Dapat dilambangkan  6P3 =  6!
(6-3 )!
= 6!
3!
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
3 x 2 x 1
= 120

b. Permutasi Yang Memuat Beberapa Unsur Sama

Permutasi yang memuat beberapa unsure yang sama dalam satu kelompok dapat dirumuskan sebagai berikut :

n P(a,b,c) =   n!
a!b!c!

Ket:
n= unsur yang tersedia
a , b , c = ( jumlah ) unsur-unsur yang sama
Contoh :
Tentukan banyaknya nama yang dapat dibentuk dari huruf M,A,T,E,M,A,T,I,K,A.
Penyelesaian:
-   Huruf yang tersedia 10
-   Unsur sma, 2 unsur ( huruf M) , 3 unsur (huruf A), 2 unsur (huruf T)
-   Dirumuskan 10P(2, 3, 2)= 10!/ 2!3!2!

= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
(2×1) (3x2x1)  (2×1)
= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5
= 151.20

c. Permutasi Siklik
Permutasi siklik adalah permutasi yang memuat beberapa unsur yang urutannya berupa lingkaran tertutup.
Prmutasi siklik dapat dirumuskan sebagai beikut :

P(siklik) = (n-1)!

C. Notasi Kombinasi

Notasi kombinasi adalah pengelompokan suatu unsur dari kelompoknya dengan pilihan dari unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya. Notasi kombinasi dapat dirumuskan sebagai berikut:

n C r =    n1 r!( n-r)! Ket:    n= unsur yang tersedia r= unsur yang dipilih

Contoh:
Terdapat 10 bola yang terdiri dari 3 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola hijau .Berapa banyak kombinasi jika dilakukan pemilihan 2 bola.
Penyelesaian:
10C2=    10!           =  10x9x8x…x2×1 =45
2!(10-2)!                  2×1(8!)

Jadi, jumlah kombinasi warna jika diambil 2 bola = 45 warna.

D. Kejadian Sederhana , Ruang Contoh , Peluang , dan Kisaran nilai Peluang

a. Ruang Contoh
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada percobaan.

Contoh:
Ruang contoh pelemparan dadu { 1,2,3,4,5,6}.Dan pelemparan uang {gambar, angka}.

b. Peluang
Adapun rumus dari peluang adalah:

P(A)=   n(A) n(S) Ket: n(A)=banyaknya hasil yang akan terjadi. n(S) = banyaknya semua kemungkinan.

Contoh:
Dadu yang dilempar, kemungkinan keluar angka-angka genap dan kemungkinan  keluar angka 0 sebagai beikut:
1.     Angka genap
2,4,6= 3 kejadian
Kemungkinan angka mata dadu (ruang sampel) adalah:
1,2,3,4,5,6= 6 kemungkinan
Jadi, peluang genap =  3 =  1
6      2
2.     Angka nol
Sisi dadu tidak ada yang berangka 0
Maka, mustahil keluar angka 0
Jadi, peluang keluar 0= 0

c. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:

Frekuensi harapan = P(A) x N Ket: P(A)= peluang kejadian (A) N= banyak percobaan

Contoh:
Jika sebuah dadu dilempar sebanyak 100 kali.
Berapa frekuensi munculnya bilangan prima sebagai berikut:
-   Mata dadu= 1,2,3,4,5,6
-   Bilangan prima pada dadu= 2,3,5
-   Peluangnya=      3
6
-         Frekuensi harapan = 3  x 100= 50 kali.
6

E. Kejadian Majemuk

a.     Peluang komplemen

P(A)= peluang kejadin munculnya A
P(A^’)=peluang kejadian munculnya bukan A

Maka , P(A) dan P(A’) adalah peluang kejadian yang salig komplemen.
P(A u A’)=1
Contoh:

Peluang munculnya bilangan bukan 5 pada pelemparan dadu sebagai berikut:
P(5)= 1/6 , maka komplemennya adalah munculnya bukan 5 { P(5’)}=1-1= 5/6
6

b. Peluang Gabungan Duan Kejadian Yang Saling Lepas
Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas adalah peluang kejadian yang tidak dapat berlangsung bersamaan.

Contoh :
Tentukan peluang munculnya bilangan 2 atau 4 dan peluang munculnya bilangan 5 pada pelemparan dadu.

Penyelesaian :
P(2,4)= 2/6
P(5)    = 1/6
= 2/6+1/6=1/2
Jadi, peluang 2 atau 4 atau 5 adalah ½.

F. Peluang Kejadian yang Saling Bebas

Peluang kejadian yang saling bebas adalah peluang muncul tidaknya kejadian A tidak terpengaruhi oleh muncul tidaknya kejadian B.

Contoh:
Pada pelemparan dadu dan uang logam , peluang munculnya bilangan prima dan gambar adalah saling bebas dengan peluang sebagai berikut:

P(prima)= P(2,3,5)=3/6=1/2
P(gambar)= P(G)= 1/2
P(prima dan gambar)= P(prima)x P(G)= 1/4.